物理数学 · 2022/04/08

■接平面の方程式 １変数関数については、その関数に対する接線の方程式を考えることができる。 これに対して、関数が仮に２変数の関数であっても同様に、その関数に対する接平面の方程式を考えることができる。 関数\(z=f(x,y)\)上の、ある点\((x_0,y_0,z_0)\)における接平面の方程式は、 　\(z=\displaystyle\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\displaystyle\frac{\partial...

相対論 · 2022/04/07

■電磁波を仮定 　前回の議論で、どうやらアンペールの法則とファラデーの電磁誘導の法則から、電磁波というものが発生するであろう、ということが判明した。 　これは、高校物理でも説明される内容であるが、正しいか間違っているかは置いといて軽く説明する。...

相対論 · 2022/04/06

■真空中の電磁場 　古典電磁気学で土台となる、真空中の電磁場の４つの方程式を書き出してみると ・電荷の\(Gauss\)の法則　――① 　\(div \mathbf{ D }=\rho　(=0)\) ・\(Faraday\)の法則　――② 　\(rot \mathbf{ E }=-\displaystyle\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) ・磁荷の\(Gauss\)の法則　――③ 　\(div \mathbf{ B }=0\) ・\(Ampere\)の法則　――④ 　\(rot \mathbf{H}=\displaystyle\frac{\partial \mathbf{ D...

物理数学 · 2022/02/10

■常微分 　微分には、独立変数の数によって、常微分と偏微分という\(2\)種類の微分がある。 　常微分：独立変数が\(1\)変数の場合の微分 　偏微分：独立変数が\(2\)変数以上の場合の微分 常微分というのは、いわゆる「ふつうの」微分のことで、たとえば、 　\(y=2x^2+3\) という関数があったとして、これを微分したときに、 　\(y'=4x\) となる。...

物理数学 · 2022/02/09

■微分方程式の種類 　微分方程式を扱うにつき、まずは微分方程式に関する用語をおさえておきたい。 　常微分方程式：独立変数が\(1\)変数の場合の微分方程式 　偏微分方程式：独立変数が\(2\)変数以上の場合の微分方程式 　線形微分方程式：未知関数や導関数の\(1\)次の項のみが含まれている微分方程式 　非線形微分方程式：線形でないもの...

物理数学 · 2022/02/09

■独立変数と従属変数 　\(y=f(x)\)という関数があったとする。 　このとき、\(x\)を「独立変数」といい、\(y\)を「従属変数」という。 　仮に、\(y=2x+3\)という関数があったとすると、\(x\)が独立変数で、物理では測定した値などは\(x\)に代入することになる。 　\(y\)は\(x\)の値が変化することに、セットで変化するため、「従属」と名付けられている。...

力学 · 2021/07/05

　角\(\alpha\)をなす二直線にそって，\(A\)船が速さ\(u\)で港に近づき，\(B\)船が速さ\(v\)で港から遠ざかる場合，両船の距離が最小のときの，港から両船までの距離の比は次のようになることを示せ。 \((v+ucos\alpha):(u+vcos\alpha)\)

力学 · 2021/06/16

　定加速度で運動する点の時刻\(t_1,t_2,t_3\)での位置を\(r_1,r_2,r_3\)とすると、加速度は次のようになることを示せ。 \(a=2\displaystyle\frac{(r_2-r_3)t_1+(r_3-r_1)t_2+(r_1-r_2)t_3}{(t_1-t_2)(t_2-t_3)(t_3-t_1)}\) [解答] 　\(t=0\)での位置と速度とを\(r_0,v_0\)とすると、各時刻における位置は次のようになる。 　　\(r_1=\displaystyle\frac{1}{2}at_1^2+v_0t_1+r_0\) 　　\(r_2=\displaystyle\frac{1}{2}at_2^2+v_0t_2+r_0\)...

相対論 · 2021/01/24

(編集中：自分のメモの転記のため英文まじりのままです) ■真空・球対称・帯電条件における重力方程式 さて、今考えている条件における重力方程式の右辺のうち生き残っているものを再び書き出してみる。 　\(T_{00}=\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\lambda}\) 　\(T_{11}=-\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\nu}\) 　\(T_{22}=\displaystyle\frac{r^2}{2\mu_0} E_r^2 e^{-(\nu +\lambda)}\)...

力学 · 2020/10/05

■回転運動の運動方程式 　前回の話、等角加速度回転運動で、以下の公式を導くことができた。 　▼加速度と角加速度の関係 　\(a=r\beta\) 　▼等角加速度回転運動の３公式 　\(\omega=\omega_0+\beta t \) 　\(\theta=\omega_0t+\displaystyle\frac{1}{2}\beta t^2\) 　\(\omega^2-\omega^2_0=2\beta \theta\) これらの公式を、運動方程式に融合してみようと思う。 　\(ma=F\)　 の両辺に回転半径\(r\)をかけると...