相対論 · 2020/09/13
■真空・球対称・帯電条件における重力方程式 今解いている重力方程式は、\(c=G=1\)の単位系で \(R_{\mu\nu}\)\(=\)\(8\pi T_{\mu\nu}\) である。 導出2によって、重力方程式の左辺はバーコフの定理と同じく、次の５本の方程式だけが生き残ることが分かった。 \(R_{00}=\displaystyle\frac{1}{4}e^{\nu-\lambda}\left[ (\nu')^2-\lambda' \nu' +2\nu''+\frac{4}{r}\nu' \right] \) \(-\displaystyle\frac{1}{4} \left[...
相対論 · 2020/09/11
■電磁場のエネルギー運動量テンソルの成分 ここまでの計算によって、 \(F_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0 &- E_r & 0 & 0 \\ E_r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) \(F_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0 &E_re^{-(\nu+\lambda)} & 0 & 0 \\ -E_re^{-(\nu+\lambda)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) \(T_{\alpha...
相対論 · 2020/05/31
■添え字の上げ下げ 添え字の上げ下げは、当たり前には行えない。特に、ミンコフスキー計量(平坦な場合の計量)と違って、一般的な計量を考えるときには、頑張って計算しなければいけないのだ。 \(F^{\mu \nu}=g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}F_{\alpha \beta}\) としておいて、添え字を一つずつ下げていく。これを全て書き出すと、計算の指針がクリアになる。...
相対論 · 2020/05/31
■電磁場テンソル \(c=1\)とした単位系での電磁場テンソルでは、電場成分の分母につく\(c\)を省略できるので、少しシンプルな書き方になって、次のようになる。 \(F_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}\)...
相対論 · 2020/05/25
■左辺を掘り出す ▼真空・球対称・帯電 における重力方程式 \(R_{\mu\nu}=\displaystyle\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}\) この方程式を解けばいい、というところまで進んでいた。シュワルツシルト解と何が違うのかといえば、ずばり右辺に電荷要素がある点だけである。...
相対論 · 2020/05/22
■重力方程式の加工 \(Einstein\)方程式は \(G^{\mu\nu}=\displaystyle\frac{8\pi G}{c^4}T^{\mu\nu}\) であった。この左辺にあるアインシュタインテンソルを書き出してやると、 \(R^{\mu\nu}-\displaystyle\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R=\frac{8\pi G}{c^4}T^{\mu\nu}\) であった。そして、左辺第二項を、ややこしい計算のもと、移項してやると、 \(R^{\mu\nu}=\displaystyle\frac{8\pi G}{c^4}(T^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}T)\)...
相対論 · 2020/05/22
■帯電した天体の重力方程式解 ある天体が静的、真空、球対称であるという条件でアインシュタインの重力方程式を解くと、シュワルツシルト解を得ることができた。 ここで、バーコフの定理を使うと、静的条件を課さなくとも、真空、球対称でありさえすれば同じくシュワルツシルト解を得ることができるということも判明した。...
相対論 · 2020/05/08
静的・球対称・真空 という条件を、球対称・真空 という条件に置換していく。 シュワルツシルト解の導出をしていく中で、条件変更による解法の修正が必要な部分を確認しながら、最終的な解の導出までもっていこうと思う。 ...
相対論 · 2020/05/08
■\(Birkhoff\)の定理 \(Schwarzschild\)解を求めている過程で、面白い定理を発見した。 \(Schwarzschild\)解は、重力方程式に３つの仮定、静的・球対称・真空、という条件を与えていたが、どうやら、球対称・真空という条件を与えさえすれば、静的でなくても解は\(Schwarzschild\)解のみになるという定理があるらしい。...
相対論 · 2020/05/08
■静的・球対称・真空条件の重力方程式 ここまで長い計算をしていたが、結論として、静的で球対称という条件のみから、\(Ricci\)テンソルを計算して、それは10本の重力方程式のうち生き残るのが４本だけ、ということだった。...