何度も書くが、解きたい方程式は、
\(R_{\mu\nu}=0\)
ただし
\(R_{\mu\nu}≡R^{\sigma}_{\mu ,\sigma \nu}(=R^{(ct)}_{\mu ,(ct) \nu}+R^x_{\mu ,x \nu}+R^y_{\mu ,y \nu}+R^z_{\mu ,z \nu})\)
\(R^{\kappa}_{\lambda ,\mu\nu}≡\partial _{\mu}\Gamma^{\kappa}_{\lambda \nu}-\partial _{\nu}\Gamma^{\kappa}_{\lambda \mu}+\Gamma^{\tau}_{\lambda \nu}\Gamma^{\kappa}_{\tau \mu}-\Gamma^{\tau}_{\lambda \mu}\Gamma^{\kappa}_{\tau \nu}\)
\(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}≡\displaystyle\frac{1}{2}g^{\lambda \sigma}(g_{\sigma \nu ,\mu}+g_{\sigma \mu ,\nu}-g_{\mu \nu ,\sigma}) \)
である。これに
\(ds^2=-e^{\nu(\mathbf{r})}d(ct)^2 + e^{\lambda(\mathbf{r})}dr^2 + r^2 dθ^2 + r^2sin^2θ dφ^2\)
つまり
\(g_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} -e^{\nu(\mathbf{r})} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda(\mathbf{r})} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2sin^2θ \end{pmatrix}\)
を代入するのが、今やろうとしていることである。
■\(Christoffel\)記号を制覇する
\(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}≡\displaystyle\frac{1}{2}g^{\lambda \sigma}(g_{\sigma \nu ,\mu}+g_{\sigma \mu ,\nu}-g_{\mu \nu ,\sigma}) \)
は、単純に考えると、４次元４文字で\(4^4=256\)項あるという話であった。
しかし今考えている計量は対角の成分しか持たないから、256項全てを書き出す必要はなく、そのほとんどが消えてしまう。
\(g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}=\delta\)
であるから、
\(g_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} -e^{\nu(\mathbf{r})} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e^{\lambda(\mathbf{r})} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2sin^2θ \end{pmatrix}\)
\(g^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} -\frac{1}{e^{\nu(\mathbf{r})}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{e^{\lambda(\mathbf{r})}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{r^2sin^2θ} \end{pmatrix}\)
である。まず、\(\lambda =\rho\)のときのみ値を持ち、残りは0であるということを利用すると、
\(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{\lambda \lambda}(g_{\lambda \nu ,\mu}+g_{\lambda \mu ,\nu}-g_{\mu \nu ,\lambda}) \)
となるので、４次元３文字で、\(4^3=64\)項になる。
計量の１階微分のうち、0にならないのは
\(g_{00,1}=\partial_r(-e^{\nu})=-\nu'e^{\nu}\)
\(g_{11,1}=\partial_re^{\lambda}=\lambda'e^{\lambda}\)
\(g_{22,1}=\partial_rr^2=2r\)
\(g_{33,1}=\partial_rr^2sin^2θ=2rsin^2θ\)
\(g_{33,2}=\partial_θr^2sin^2θ=2r^2sinθcosθ\)
であるから、項の数はぐんと減って\(13\)項。
どうやって求めたかというと、頭の悪いやり方かもしれないが、\(64\)項くらい、と思ってすべて数え上げた。
少しはラクをしようとしたが、結局数え上げているだけだった。
まず\(\lambda\)の縮約を解いてやる。
\(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}=\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}g^{00}(g_{0 \nu ,\mu}+g_{0 \mu ,\nu}\)\(-g_{\mu \nu ,0}) \)
\(+\displaystyle\frac{1}{2}g^{11}(g_{1 \nu ,\mu}+g_{1 \mu ,\nu}-g_{\mu \nu ,1}) \)
\(+\displaystyle\frac{1}{2}g^{22}(g_{2 \nu ,\mu}+g_{2 \mu ,\nu}-g_{\mu \nu ,2}) \)
\(+\displaystyle\frac{1}{2}g^{33}(g_{3 \nu ,\mu}+g_{3 \mu ,\nu}\)\(-g_{\mu \nu ,3}) \)
このうち、微分して値を持つのは\(r\)微分\((,1)\) か、\(θ\)微分\((,2)\) の可能性しかないから、青い項は丸ごと落として、
\(\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}=\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}g^{00}(g_{0 \nu ,\mu}+g_{0 \mu ,\nu}) \)
\(+\displaystyle\frac{1}{2}g^{11}(g_{1 \nu ,\mu}+g_{1 \mu ,\nu}-g_{\mu \nu ,1}) \)
\(+\displaystyle\frac{1}{2}g^{22}(g_{2 \nu ,\mu}+g_{2 \mu ,\nu}-g_{\mu \nu ,2}) \)
\(+\displaystyle\frac{1}{2}g^{33}(g_{3 \nu ,\mu}+g_{3 \mu ,\nu}) \)
こうすると、数えやすくなる。
■\(Christoffel\)記号の中身を求める
生き残る13項は以下のとおり。
\(\Gamma^0_{01}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{00}･g_{00 ,1} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}･(-\frac{1}{e^{\nu}})･\partial_r (-e^{\nu}) \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\nu'\)
\(\Gamma^0_{10}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{00}･g_{00 ,1} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\nu'\)
\(\Gamma^1_{00}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{11}･(-g_{00 ,1}) \)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}･\frac{1}{e^{\lambda}}･\partial_r (-e^{\nu}) \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}e^{-\lambda}･\nu'e^{\nu} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}e^{\nu-\lambda} ･\nu'\)
\(\Gamma^1_{11}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{11}･(g_{11 ,1}+g_{11 ,1}-g_{11 ,1}) \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}･e^{-\lambda}･\partial_r e^{\lambda} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}\lambda'\)
\(\Gamma^1_{22}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{11}･(-g_{22 ,1}) \)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}･e^{-\lambda}･\partial_r r^2 \)
\(=-e^{-\lambda}r\)
\(\Gamma^1_{33}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{11}･(-g_{33 ,1}) \)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}･e^{-\lambda}･\partial_r r^2sin^2θ \)
\(=-re^{-\lambda}sin^2θ \)
\(\Gamma^2_{12}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{22}･g_{22 ,1} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}･r^{-2}･2r \)
\(=\displaystyle\frac{1}{r} \)
\(\Gamma^2_{21}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{22}･g_{22 ,1} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{r} \)
\(\Gamma^2_{33}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{22}･(-g_{33 ,2}) \)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2}･r^{-2}･\partial_θ r^2sin^2θ \)
\(=-sinθcosθ \)
\(\Gamma^3_{13}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{33}･g_{33 ,1} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}･\frac{1}{r^2sin^2θ}･\partial_r r^2sin^2θ \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}･\frac{2rsin^2θ}{r^2sin^2θ} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{r}\)
\(\Gamma^3_{31}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{33}･g_{33 ,1} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{r}\)
\(\Gamma^3_{23}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{33}･g_{33 ,2} \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}･\frac{1}{r^2sin^2θ}･\partial_θ r^2sin^2θ \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}･\frac{r^2･2sinθcosθ}{r^2sin^2θ} \)
\(=cotθ\)
\(\Gamma^3_{32}=\displaystyle\frac{1}{2}g^{33}･g_{33 ,2} \)
\(=cotθ\)
やっと終わった。
今度はこれを\(Ricci\)テンソルに代入してやればいい。まだまだ先は長い。