物質波の式を仮定したので、この式が従うような波の運動方程式、つまり波動方程式を求めてみようと思う。
(位相)速度\(v\)で空間を伝わる波は
\(\nabla^2 ψ(\mathbf{r},t)-\displaystyle\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 ψ(\mathbf{r},t)}{\partial t^2}=0 \)
で与えられる。この式は古典論から持ってきた式なので、量子力学はまだ関係ない。
相対論的なことも考えないでおくから、速度\(v\)は、媒質に対しての波の位相速度としてしか今のところは意味を持たせない。媒質が何なのか、そもそも媒質があるのかないのかは置いておく。のちのち相対論的な効果を考えたいときは、ここに立ち返る必要があるかもしれないが、今は置いておこう。
で、この式に前回仮定した物質波 \(ψ(\mathbf{r},t)=φ(\mathbf{r})e^{-2 \pi i \nu t}\) を代入しよう
(第１項)\(=\nabla^2 φ(\mathbf{r})e^{-2 \pi i \nu t}\)
(第２項)\(=-\displaystyle\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}φ(\mathbf{r})e^{-2 \pi i \nu t}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{v^2}φ(\mathbf{r})･(-2\pi i \nu)^2･e^{-2 \pi i \nu t}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{v^2}φ(\mathbf{r})･(-4\pi^2 \nu^2)･e^{-2 \pi i \nu t}\)
よって、
\(\nabla^2 φ(\mathbf{r})+\displaystyle\frac{4 \pi^2 \nu^2}{v^2}φ(\mathbf{r})=0\)
\(v=\lambda \nu\) (波の基本式) を代入
\(\nabla^2 φ(\mathbf{r})+\displaystyle\frac{4 \pi^2}{\lambda^2}φ(\mathbf{r})=0\)
\(\lambda=\frac{h}{p}\) (\(de Broglie\)波長) を代入
\(\nabla^2 φ(\mathbf{r})+\displaystyle\frac{4 \pi^2p^2}{h^2}φ(\mathbf{r})=0\)
となる。相対論的なことを考えないときには、エネルギーを\(ε\)として
\(ε=\displaystyle\frac{p^2}{2m}+V(\mathbf{r})\)
と与えられるから、
\(p^2=2m(ε-V(\mathbf{r}))\)
としてから代入すると、
\(\nabla^2 φ(\mathbf{r})+\displaystyle\frac{4 \pi^2･2m(ε-V(\mathbf{r}))}{h^2}φ(\mathbf{r})=0\)
\(\nabla^2 φ(\mathbf{r})+\displaystyle\frac{2m(ε-V(\mathbf{r}))}{\hbar^2}φ(\mathbf{r})=0\)
ここで両辺に \(\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\) をかけると
\(\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 φ(\mathbf{r})+(ε-V(\mathbf{r}))φ(\mathbf{r})=0\)
\(\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 φ(\mathbf{r})+εφ(\mathbf{r})-V(\mathbf{r})φ(\mathbf{r})=0\)
\(-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 φ(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})φ(\mathbf{r})=εφ(\mathbf{r})\)
\(\left[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +V(\mathbf{r})\right]φ(\mathbf{r})=εφ(\mathbf{r})\)
となる。それっぽいものが出てきたようには思うが…。
この式は、
①波動関数が \(ψ(\mathbf{r},t)=φ(\mathbf{r})e^{-2 \pi i \nu t}\) と書けるとき
②その波動関数の 空間部分\(φ(\mathbf{r})\)のみ
が従うと考えられる。
しかし、これではさすがに制約がきつすぎて、現象のごく一部しか記述ができないではないか。
特に、ポテンシャル\(V\)が時間とともに変化するときには、この式を使うことができない。
もう少し式を加工して、より一般的な形にしなければ、とても使い勝手が悪そうである。
▼時間を含まない\(Schr\ddot{o}dinger\)方程式
(定常状態の\(Schr\ddot{o}dinger\)方程式)
\(\left[-\displaystyle\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 +V(\mathbf{r})\right]φ(\mathbf{r})=εφ(\mathbf{r})\)