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等角加速度回転運動

■等角速度回転運動

 高校物理までで等速円運動と呼ばれていたものは、角速度に着目して命名すると「等角速度回転運動」となる。

角速度が一定なので、回転角\(\theta\)は、

 

 \(\theta=\omega t\)

 

となり、直線運動でいう\(x=vt\)と対応がつく。

\(\omega-t\)グラフを作成すれば、その面積が回転角\(\theta\)を意味することになる。

 

■等角加速度回転運動

 剛体に力のモーメントが作用し続けると、回転運動は徐々に速くなっていく。

 時刻\(0s\)での速度を\(v_0\)、角速度を\(\omega_0\)、

 時刻\(t[s]\)での速度を\(v\)、角速度を\(\omega\) とする。

 

すると、単位時間あたりの角速度の変化量\(\beta\)は

 

 \(\beta=\displaystyle\frac{\omega-\omega_0}{t} [rad/s^2]\)

 

となる。この物理量を「角加速度」といい、角加速度が一定であるような回転運動を「等角加速度回転運動」という。

 

 

速度と角速度の関係は\(v=rω\)で表せるが、加速度と角加速度の関係も導いておこう。

 \(\beta=\displaystyle\frac{\omega-\omega_0}{t}\)

 

 \(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{v}{r}-\frac{v_0}{r}}{t}\)

 

 \(=\displaystyle\frac{1}{r}・(\frac{v-v_0}{t})\)

 

 \(=\displaystyle\frac{a}{r}\)

よって

 \(a=r\beta\)

となって対応性がきれいだ。

 

 

どんどんいこう。直線運動の加速度運動の公式を導出する手順で、角加速度バージョンで等角加速度3公式を導出してみる。

 \(\beta=\displaystyle\frac{\omega-\omega_0}{t}\) より

 

 \(\omega=\omega_0+\beta t\)

 

\(\omega-t\)グラフを描いたとき、その面積から回転角を求めることができるので、角加速度が\(\beta\)であるときのグラフから、面積を求める。

 

さすがに面積導出過程は省略するが、長方形部分と三角形部分に分けて考えてやれば、項別にきちんと求まる。

 

 \(\theta=\omega_0t+\displaystyle\frac{1}{2}\beta t^2\)

 

そして、これら2本の式を連立して\(t\)を消去してやれば、

 

 \(\omega^2-\omega^2_0=2\beta \theta\)

 

以上である。等加速度直線運動の3公式の文字を書き換えただけの形となり、とてもエレガントで美しい。

使い勝手も慣れた方法でいけそうである。

 

 

▼加速度と角加速度の関係

 \(a=r\beta\)

 

▼等角加速度回転運動の3公式

 \(\omega=\omega_0+\beta t \)

 \(\theta=\omega_0t+\displaystyle\frac{1}{2}\beta t^2\)

 \(\omega^2-\omega^2_0=2\beta \theta\)

 

[参考]

▼速度と角速度の関係

 \(v=r\omega\)

▼等加速度直線運動の3公式

 \(v=v_0+at\)

 \(x=v_0t+\displaystyle\frac{1}{2}at^2\)

 \(v^2-v^2_0=2ax\)