内積(スカラー積)
\(\mathbf{a}･\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|cos\theta\)
外積(ベクトル積)
\(\mathbf{a}×\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|sin\theta \mathbf{\hat{n}}=\begin{vmatrix} \mathbf{\hat{x}} & \mathbf{\hat{y}} & \mathbf{\hat{z}} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\)
\(\mathbf{\hat{n}}\)は\(\mathbf{a}、\mathbf{b}\)と右手系をなす単位ベクトル
\(Lagrange\)の恒等式
\( (\mathbf{a}×\mathbf{b})･(\mathbf{c}×\mathbf{d}) = (\mathbf{a}･\mathbf{c})(\mathbf{b}･\mathbf{d})- (\mathbf{a}･\mathbf{d})(\mathbf{b}･\mathbf{c})\)
スカラー三重積
\((\mathbf{a}×\mathbf{b})･\mathbf{c}=\begin{vmatrix} \ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}\)
\(=(\mathbf{b}×\mathbf{c})･\mathbf{a}\)
\(=(\mathbf{c}×\mathbf{a})･\mathbf{b}\)
\(=\)平行四面体の体積
ベクトル三重積
\( (\mathbf{a}×\mathbf{b})×\mathbf{c} = (\mathbf{a}･\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{b}･\mathbf{c})\mathbf{a}\)
\( \mathbf{a}×(\mathbf{b}×\mathbf{c}) = (\mathbf{a}･\mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}･\mathbf{b})\mathbf{c}\)