■電磁場のエネルギー運動量テンソルの成分
ここまでの計算によって、
\(F_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0 &- E_r & 0 & 0 \\ E_r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
\(F_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0 &E_re^{-(\nu+\lambda)} & 0 & 0 \\ -E_re^{-(\nu+\lambda)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
\(T_{\alpha \beta}=\displaystyle\frac{1}{\mu_0} \left( \displaystyle\frac{1}{2}g_{\alpha \beta} F_{01}F^{01} - g_{\beta 1}F_{\alpha 0}F^{10} - g_{\beta 0}F_{\alpha 1}F^{01} \right) \)
となった。ここから\(T_{\alpha \beta}\)の各成分を書き出してみる。
機械的な作業はめんどくさくはあるが、嫌いではない。頭を特にはたらかせることなくスイスイと手が進むのは、それはそれで一種の満足感がある。
\(T_{00}=\displaystyle\frac{1}{\mu_0} \left( \displaystyle\frac{1}{2}g_{00} F_{01}F^{01} - g_{01}F_{00}F^{10} - g_{00}F_{01}F^{01} \right) \)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} g_{00} F_{01}F^{01}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} e^{\nu}E_r^2e^{-(\nu +\lambda)}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\lambda}\)
\(T_{01}(=T_{10})=\displaystyle\frac{1}{\mu_0} \left( \displaystyle\frac{1}{2}g_{01} F_{01}F^{01} - g_{11}F_{00}F^{10} - g_{10}F_{01}F^{01} \right) \)
\(=0\)
\(T_{02}=0 \)
\(T_{03}=0 \)
\(T_{11}=\displaystyle\frac{1}{\mu_0} \left( \displaystyle\frac{1}{2}g_{11} F_{01}F^{01} - g_{11}F_{10}F^{10} - g_{10}F_{11}F^{01} \right) \)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} g_{11} F_{01}F^{01}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} e^{\lambda}E_r^2e^{-(\nu +\lambda)}\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\nu}\)
\(T_{12}=0 \)
\(T_{13}=0 \)
\(T_{22}=\displaystyle\frac{1}{\mu_0} \left( \displaystyle\frac{1}{2}g_{22} F_{01}F^{01} - g_{21}F_{20}F^{10} - g_{20}F_{21}F^{01} \right) \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} r^2 F_{01}F^{01}\)
\(=\displaystyle\frac{r^2}{2\mu_0} E_r^2 e^{-(\nu +\lambda)}\)
\(T_{23}=0\)
\(T_{33}=\displaystyle\frac{1}{\mu_0} \left( \displaystyle\frac{1}{2}g_{33} F_{01}F^{01} - g_{31}F_{30}F^{10} - g_{30}F_{31}F^{01} \right) \)
\(=\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} r^2 sin^2\theta F_{01}F^{01}\)
\(=T_{22}sin^2\theta\)
これですべてである。この先の指針は明快である。あとは、ここで出た"右辺"と、前に求めた"左辺"をつないでやれば、重力方程式の連立方程式が書き下される。それを解けばいいだけだ。
問題は、その連立式が解けるのか、解けないのか。結論から言うと「真空・球対称・帯電」のみの条件であるから解けるのだ。
アインシュタイン方程式を解く手順というのは、だんだんと分かってきた。
▼電磁場のエネルギー運動量テンソルの成分
\(T_{00}=\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\lambda}\)
\(T_{01}=0 \)
\(T_{02}=0 \)
\(T_{03}=0 \)
\(T_{11}=-\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\nu}\)
\(T_{12}=0 \)
\(T_{13}=0 \)
\(T_{22}=\displaystyle\frac{r^2}{2\mu_0} E_r^2 e^{-(\nu +\lambda)}\)
\(T_{23}=0\)
\(T_{33}=T_{22}sin^2\theta\)