■真空・球対称・帯電条件における重力方程式
今解いている重力方程式は、\(c=G=1\)の単位系で
\(R_{\mu\nu}\)\(=\)\(8\pi T_{\mu\nu}\)
である。
導出2によって、重力方程式の左辺はバーコフの定理と同じく、次の５本の方程式だけが生き残ることが分かった。
\(R_{00}=\displaystyle\frac{1}{4}e^{\nu-\lambda}\left[ (\nu')^2-\lambda' \nu' +2\nu''+\frac{4}{r}\nu' \right] \) \(-\displaystyle\frac{1}{4} \left[ (\dot{\lambda})^2-\dot{\nu}\dot{\lambda}+2\ddot{\lambda} \right] \)
\(R_{01}=\displaystyle\frac{\dot{\lambda}}{r}\)
\(R_{02}=0\)
\(R_{03}=0\)
\(R_{11}=-\displaystyle\frac{1}{4}\left[ (\nu')^2-\lambda' \nu' +2\nu''+\frac{4}{r}\lambda' \right] \) \(+\displaystyle\frac{1}{4}e^{\lambda-\nu} \left[ 2(\dot{\lambda})^2-\dot{\nu}\dot{\lambda}+2\ddot{\lambda} \right] \)
\(R_{12}=0\)
\(R_{13}=0\)
\(R_{22}=e^{-\lambda}\left[\displaystyle\frac{r}{2}\lambda'-\frac{r}{2}\nu'-1 \right]+1\)
\(R_{23}=0\)
\(R_{33}=R_{22}sin^2\theta\)
また、導出4によって、重力方程式の右辺は次の項のみが生き残るのが分かった。
\(T_{00}=\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\lambda}\)
\(T_{01}=0 \)
\(T_{02}=0 \)
\(T_{03}=0 \)
\(T_{11}=-\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\nu}\)
\(T_{12}=0 \)
\(T_{13}=0 \)
\(T_{22}=\displaystyle\frac{r^2}{2\mu_0} E_r^2 e^{-(\nu +\lambda)}\)
\(T_{23}=0\)
\(T_{33}=T_{22}sin^2\theta\)
つまり、今の条件において解くべき重力方程式は次の５本のみを考えれば良い。
00成分) \(\displaystyle\frac{1}{4}e^{\nu-\lambda}\left[ (\nu')^2-\lambda' \nu' +2\nu''+\frac{4}{r}\nu' \right] \) \(-\displaystyle\frac{1}{4} \left[ (\dot{\lambda})^2-\dot{\nu}\dot{\lambda}+2\ddot{\lambda} \right] \)\(=8\pi\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\lambda}\)
01成分) \(\displaystyle\frac{\dot{\lambda}}{r}\)\(=0 \)
11成分) \(-\displaystyle\frac{1}{4}\left[ (\nu')^2-\lambda' \nu' +2\nu''+\frac{4}{r}\lambda' \right] \) \(+\displaystyle\frac{1}{4}e^{\lambda-\nu} \left[ 2(\dot{\lambda})^2-\dot{\nu}\dot{\lambda}+2\ddot{\lambda} \right] \)\(=-8\pi\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\nu}\)
22成分) \(e^{-\lambda}\left[\displaystyle\frac{r}{2}\lambda'-\frac{r}{2}\nu'-1 \right]+1\)\(=8\pi\displaystyle\frac{r^2}{2\mu_0} E_r^2 e^{-(\nu +\lambda)}\)
33成分) \(R_{22}sin^2\theta\)\(=8\pi T_{22}sin^2\theta\)
そのうち、33成分については、22成分と同値であるから考える必要はない。また、バーコフの定理の結論がシュレディンガー方程式に行きついたときと同じように、01成分があるおかげで、他の式についても時間依存の式がことごとく消える。結果として、式は即座に３本まで減らすことができる。
00成分) \(\displaystyle\frac{1}{4}e^{\nu-\lambda}\left[ (\nu')^2-\lambda' \nu' +2\nu''+\frac{4}{r}\nu' \right] \)\(=8\pi\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\lambda}\)
11成分) \(-\displaystyle\frac{1}{4}\left[ (\nu')^2-\lambda' \nu' +2\nu''+\frac{4}{r}\lambda' \right] \)\(=-8\pi\displaystyle\frac{1}{2\mu_0} E_r^2e^{-\nu}\)
22成分) \(e^{-\lambda}\left[\displaystyle\frac{r}{2}\lambda'-\frac{r}{2}\nu'-1 \right]+1\)\(=8\pi\displaystyle\frac{r^2}{2\mu_0} E_r^2 e^{-(\nu +\lambda)}\)
一つ注意しておくが、左辺に関しては、01成分のおかげで項を簡略化することに成功したが、これが直ちに式全体にわたって時間依存しないと言っているわけではない。今の時点では、右辺に残っている電場\(E_r\)は時間と空間の関数で、\(E_r(t,r)\)である。
種明かしをすると、のちのち\(E_r\)にも時間依存性がないことが分かるのだが…。
11成分の両辺を\(e^{\nu-\lambda}\)倍してやると見通しがよくなりそうだ。
00成分) \(\displaystyle\frac{1}{4}e^{\nu-\lambda}\left[ (\nu')^2-\lambda' \nu' +2\nu''+\frac{4}{r}\nu' \right] \)\(=\displaystyle\frac{4\pi}{\mu_0} E_r^2e^{-\lambda}\)
11成分) \(-\displaystyle\frac{1}{4}e^{\nu-\lambda}\left[ (\nu')^2-\lambda' \nu' +2\nu''+\frac{4}{r}\lambda' \right] \)\(=-\displaystyle\frac{4\pi}{\mu_0} E_r^2e^{-\lambda}\)
辺々足し合わせると、ほとんどの項が消えるので、
\(\displaystyle\frac{1}{4}e^{\nu-\lambda} \left( \frac{4}{r}\nu' +\frac{4}{r}\lambda' \right)=0\)
よって
\(\nu'+\lambda'=0\)
空間で積分して
\(\nu+\lambda=C_0\) (\(C_0:const\))
ただ、\(r→\infty\)では何もかも存在しないとすれば、積分定数は\(0\)にできるので、
\(\nu+\lambda=0\)
である。
これを利用すれば22成分の方程式を解き進めることができる。
22成分) \(\displaystyle\frac{r}{2}e^{-\lambda}(\lambda'-\nu')-e^{-\lambda}\)\(=-1+\displaystyle\frac{4\pi r^2}{\mu_0} E_r^2 e^{-(\nu +\lambda)}\)
この式において、
\(\nu'=-\lambda'\) かつ \(\nu+\lambda=0\)
であるから、
\(\displaystyle\frac{r}{2}e^{-\lambda}･2\lambda' - e^{-\lambda}=-1+\frac{4\pi r^2}{\mu_0}E_r^2\)
\(r\lambda' e^{-\lambda} - e^{-\lambda} =-1+\displaystyle\frac{4\pi r^2}{\mu_0}E_r^2\)
\((re^{-\lambda})'=1-\displaystyle\frac{4\pi r^2}{\mu_0}E_r^2\)
となる。そして困る。
\(E_r(t,r)\)が曲者だ。\(E_r(t,r)\)さえなければ式変形はそのまま進められそうだが、\(E_r\)の中身次第ではこれは一筋縄ではいかなさそうである。
結論を言えば、計算した結果、\(E_r(t,r)\)は時間依存せず、\(E_r(r)\)となり、その値は\(\displaystyle\frac{1}{r^2}\)に比例すると考えられるような物理量であった。
しかしそれは頑張って解いた結果判明したのであって、この時点ではどうしようもない。
ここからどうやって解くのだ…？
こうして、\(\displaystyle\frac{1}{r^2}\)を求めるがために、かなりの遠回りを強いられることとなるのであった。