■回転運動の運動方程式
前回の話、等角加速度回転運動で、以下の公式を導くことができた。
▼加速度と角加速度の関係
\(a=r\beta\)
▼等角加速度回転運動の３公式
\(\omega=\omega_0+\beta t \)
\(\theta=\omega_0t+\displaystyle\frac{1}{2}\beta t^2\)
\(\omega^2-\omega^2_0=2\beta \theta\)
これらの公式を、運動方程式に融合してみようと思う。
\(ma=F\)
の両辺に回転半径\(r\)をかけると
\(mar=Fr\)
ここで、\(a=r\beta\)であるから
\(m･r\beta･r=Fr\)
\(mr^2\beta=Fr\)
ここで、右辺の\(Fr\)は力のモーメント\(N\)である。
また、左辺の\(mr^2\)を\(I\)と表記することにして左辺と右辺を入れ替えると
\(N=I \beta\)
となる。ここでまとめた\(I\)のことを、「慣性モーメント」と呼び、「剛体の回転のしにくさ」を表す量となる。
また、この式を「回転運動の運動方程式」という。
▼慣性モーメント
\(I=mr^2 [kg･m^2]\)
▼回転運動の運動方程式
\(N=I \beta\)
(力のモーメント)＝(慣性モーメント)×(角加速度)
例題
図のように、半径\(r[m]\)、慣性モーメント\(I[N･m]\)、の滑車に糸を通して、質量\(M\)、\(m[kg]\)\((M>m)\)のおもり\(A\)、\(B\)を取り付けた。滑車の摩擦はないものとする。
(1) おもりの加速度\(a[m/s^2]\)を求めよ。
(2) 滑車の角加速度\(\beta[rad/s^2]\)を求めよ。
(3) おもり\(A\)とつながる糸の張力\(T_1\)を求めよ。
(4) おもり\(B\)とつながる糸の張力\(T_2\)を求めよ。
[解答]
おもり\(A\)、\(B\)、滑車のそれぞれについて運動方程式を立てると、
[A] \(Ma=Mg-T_1\)
[B] \(ma=T_2-mg\)
[滑車] \(I \beta = T_1r-T_2r\)
また、加速度と角加速度の関係より
\(a= r \beta\)
であるから、[A]、[B]に代入すると
[A] \(Mr \beta =Mg-T_1\)
[B] \(mr \beta = T_2-mg\)
よって
[A] \(T_1=Mg-Mr\beta\)
[B] \(T_2=mr\beta+mg\)
これらを[滑車]の式に代入すると
\(I\beta=Mgr-Mr^2\beta-mr^2\beta-mgr\)
\(I\beta=(M-m)gr-(M+m)r^2\beta\)
\([I+(M+m)r^2]\beta=(M-m)gr\)
よって
\(\beta=\displaystyle\frac{(M-m)gr}{(M+m)r^2+I} [rad/s^2]\) …(2)
また
\(a=\displaystyle\frac{(M-m)gr^2}{(M+m)r^2+I} [rad/s^2]\) …(1)
これらを
[A] \(T_1=Mg-Ma\)
[B] \(T_2=ma+mg\)
に代入して整理すると
\(T_1=Mg\displaystyle\frac{2mr^2+I}{(M+m)r^2+I} [N]\) …(3)
\(T_2=mg\displaystyle\frac{2Mr^2+I}{(M+m)r^2+I} [N]\) …(4)
となる。