定加速度で運動する点の時刻\(t_1,t_2,t_3\)での位置を\(r_1,r_2,r_3\)とすると、加速度は次のようになることを示せ。
\(a=2\displaystyle\frac{(r_2-r_3)t_1+(r_3-r_1)t_2+(r_1-r_2)t_3}{(t_1-t_2)(t_2-t_3)(t_3-t_1)}\)
[解答]
\(t=0\)での位置と速度とを\(r_0,v_0\)とすると、各時刻における位置は次のようになる。
\(r_1=\displaystyle\frac{1}{2}at_1^2+v_0t_1+r_0\)
\(r_2=\displaystyle\frac{1}{2}at_2^2+v_0t_2+r_0\)
\(r_3=\displaystyle\frac{1}{2}at_3^2+v_0t_3+r_0\)
ここから与えられた式を示すためには、今自分で設定した\(r_0,v_0\)を消去すればいい。消去したい変数が２つで、式は３本あるので、必要な情報はそろっている。あとは連立式を好きなように解けばいい。
まずは、\(r_0\)を消去するために、それぞれの式を引き算してみることにする。すると、
\(r_2-r_3=\displaystyle\frac{1}{2}a(t_2^2-t_3^2)+v_0(t_2-t_3)\)
\(r_3-r_1=\displaystyle\frac{1}{2}a(t_3^2-t_1^2)+v_0(t_3-t_1)\)
\(r_1-r_2=\displaystyle\frac{1}{2}a(t_1^2-t_2^2)+v_0(t_1-t_2)\)
となり\(r_0\)が消去された。各式の最後の項に\(v_0\)が残っているので、つづけてこの最終項を消去したい。
示したい式の最終形態を見ると、分数の分子を見る限り、さらに時刻\(t\)をかけ算すると良いようである。
\((r_2-r_3)t_1=\displaystyle\frac{1}{2}a(t_2^2-t_3^2)t_1+v_0t_1(t_2-t_3)\)
\((r_3-r_1)t_2=\displaystyle\frac{1}{2}a(t_3^2-t_1^2)t_2+v_0t_2(t_3-t_1)\)
\((r_1-r_2)t_3=\displaystyle\frac{1}{2}a(t_1^2-t_2^2)t_3+v_0t_3(t_1-t_2)\)
よくよく見ると、これら３本の式を足し合わせてやると、それぞれの式の最後の\(v_0\)項は消えてなくなることが分かる。
よって
\((r_2-r_3)t_1+(r_3-r_1)t_2+(r_1-r_2)t_3=\displaystyle\frac{1}{2}a\left[(t_2^2-t_3^2)t_1+(t_3^2-t_1^2)t_2+(t_1^2-t_2^2)t_3\right]\)
\((r_2-r_3)t_1+(r_3-r_1)t_2+(r_1-r_2)t_3=\displaystyle\frac{1}{2}a\left[(t_2^2-t_3^2)t_1+t_3^2t_2-t_1^2t_2+t_1^2t_3-t_2^2t_3\right]\)
\((r_2-r_3)t_1+(r_3-r_1)t_2+(r_1-r_2)t_3=\displaystyle\frac{1}{2}a\left[(t_2^2-t_3^2)t_1+(t_3-t_2)t_1^2 +(t_3-t_2)t_3t_2\right]\)
\((r_2-r_3)t_1+(r_3-r_1)t_2+(r_1-r_2)t_3=\displaystyle\frac{1}{2}a\left[(t_2+t_3)(t_2-t_3)t_1-(t_2-t_3)t_1^2 -(t_2-t_3)t_2t_3\right]\)
\(2\left[(r_2-r_3)t_1+(r_3-r_1)t_2+(r_1-r_2)t_3\right]=a(t_2-t_3)\left[(t_2+t_3)t_1-t_1^2 -t_2t_3\right]\)
\(2\left[(r_2-r_3)t_1+(r_3-r_1)t_2+(r_1-r_2)t_3\right]=a(t_2-t_3)(t_1-t_2)(t_3-t_1)\)
\(2\displaystyle\frac{(r_2-r_3)t_1+(r_3-r_1)t_2+(r_1-r_2)t_3}{(t_1-t_2)(t_2-t_3)(t_3-t_1)}=a\)