角\(\alpha\)をなす二直線にそって，\(A\)船が速さ\(u\)で港に近づき，\(B\)船が速さ\(v\)で港から遠ざかる場合，両船の距離が最小のときの，港から両船までの距離の比は次のようになることを示せ。
\((v+ucos\alpha):(u+vcos\alpha)\)
[解答]
港を\(O\)，\(AO=x\)，\(BO=y\)，\(AB=z\)とおく。
両船の距離\(z\)は徐々に値を減らし，距離が最小となった点を境に再び増加へと転じる。
このことから，両船の距離が最小となるときの\(z\)の時間微分が\(\dot{z}=0\)となることがわかる。
また、それぞれの船の速度が図のように，\(-u\)，\(v\)となることから、
\(\dot{x}=-u\)，\(\dot{y}=v\)
とすることができる。
両船の距離\(z\)は，余弦定理より
\(z^2=x^2+y^2-2xycos\alpha\)
と表せるので、両辺を\(t\)で微分すると、
\(2\dot{z}z=2\dot{x}x+2\dot{y}y-2\dot{x}ycos\alpha-2x\dot{y}cos\alpha\)
ここに、\(\dot{z}=0\)，\(\dot{x}=-u\)，\(\dot{y}=v\)を代入すると、
\(0=-ux+vy+uycos\alpha -vxcos\alpha\)
\(y(v+ucos\alpha)=x(u+vcos\alpha)\)
よって
\(x:y=(v+ucos\alpha):(u+vcos\alpha)\)