■真空中の電磁場
古典電磁気学で土台となる、真空中の電磁場の４つの方程式を書き出してみると
・電荷の\(Gauss\)の法則 ――①
\(div \mathbf{ D }=\rho (=0)\)
・\(Faraday\)の法則 ――②
\(rot \mathbf{ E }=-\displaystyle\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)
・磁荷の\(Gauss\)の法則 ――③
\(div \mathbf{ B }=0\)
・\(Ampere\)の法則 ――④
\(rot \mathbf{H}=\displaystyle\frac{\partial \mathbf{ D }}{\partial t}+\mathbf{j}(=0)\)
・また、真空中で、
\(\mathbf{ D }=\varepsilon_0 \mathbf{E}\)
\(\mathbf{ B }=\mu_0 \mathbf{H}\)
という関係も書き出せる。
■ファラデーの式を変形する
②式の両辺に回転をとると、
\(rot(rot \mathbf{ E })=-rot \displaystyle\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\)
ここに、
\(rot(rot \mathbf{ A })=grad(div \mathbf{ A })-\Delta \mathbf{ A }\)
を適用させると、
\(grad(div \mathbf{ E })-\Delta \mathbf{E}=-\displaystyle\frac{\partial }{\partial t} rot \mathbf{ B }\)
\(-\Delta \mathbf{E}=-\mu_0\displaystyle\frac{\partial }{\partial t} rot \mathbf{ H }\)
\(-\Delta \mathbf{E}=-\mu_0\displaystyle\frac{\partial }{\partial t} \frac{\partial \mathbf{ D }}{\partial t}\)
\(-\Delta \mathbf{E}=-\mu_0\varepsilon_0 \displaystyle\frac{\partial ^2 \mathbf{ E }}{\partial t^2}\)
\(-\Delta \mathbf{E}+\mu_0\varepsilon_0 \displaystyle\frac{\partial ^2 \mathbf{ E }}{\partial t^2}=0\)
\(-\Delta \mathbf{E}+\displaystyle\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 \mathbf{ E }}{\partial t^2}=0\)
\(-\Delta \mathbf{E}+\displaystyle\frac{\partial ^2 \mathbf{ E }}{\partial (ct)^2}=0\)
\(\Box \mathbf{E}=0\)
となる。ここで、\(\Box\)は、ダランベルシャン(ダランベルシアン)記号と言われるもので、
\(\Box = \Delta -\dfrac{1}{c^ 2}\dfrac{\partial^ 2}{\partial t^ 2}\)
を意味している。
■アンペールの式を変形する
これを同様の計算式を④に適用することで、磁場に関しても同じく、
\(\Box \mathbf{H}=0\)
を導くことができる。
■電磁波の式
つまり、\(Maxwell\)方程式から、電場と磁場が、波動方程式を満たしていることが分かる。
この方程式に従って、振動や伝播していく電磁場のことを、電磁波とよぶ。